الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب المعادلة في $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $(y^{2} - 1) (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

خطوة 3.3.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ في $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 3.3.1.3.2

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 3.3.1.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

خطوة 3.3.1.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 3.3.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 3.3.1.4.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} x - y^{2} = x$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $y^{2} (x - 1) = x$ على $x - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $y^{2} (x - 1) = x$ على $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

خطوة 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

خطوة 3.4.6

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ في $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

خطوة 3.4.6.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ في $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

خطوة 3.4.6.3.2

ارفع $\sqrt{x - 1}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

خطوة 3.4.6.3.3

ارفع $\sqrt{x - 1}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

خطوة 3.4.6.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.6.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

خطوة 3.4.6.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ بالصيغة $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.6.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.6.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.6.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.6.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

خطوة 3.4.6.3.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

خطوة 3.4.6.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

خطوة 3.4.7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

خطوة 3.4.7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

خطوة 3.4.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ و $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x (x - 1)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x (x - 1) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 5.3.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 5.3.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5.3.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 1) \geq 0$ صحيحة.

$x = 0, 1$

خطوة 5.3.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

خطوة 5.3.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 5.3.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$(- 2) ((- 2) - 1) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.1.3

الطرف الأيسر $6$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.5$

خطوة 5.3.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0.5$ في المتباينة الأصلية.

$(0.5) ((0.5) - 1) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.2.3

الطرف الأيسر $- 0.25$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 5.3.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$(4) ((4) - 1) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.3.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ صحيحة

$0 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ صحيحة

$x < 0$ صحيحة

$0 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ صحيحة

خطوة 5.3.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq 0$ أو $x \geq 1$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x - 1 = 0$

خطوة 5.3.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5.3.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} - 1 = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 1$

خطوة 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 5.4.2.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 5.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 5.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 5.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 5.4.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ هو مدى $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ومدى $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ هو نطاق $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

خطوة 6